Sumas – propiedades de la adicion de numeros naturales

ADICIÓN DE NÚMEROS NATURALES.

La Adición es la más sencilla de las cuatro reglas u operaciones elementales con los números.

vamos a interpretar la adicion de numeros naturales con ayuda de la teoria de conjuntos y las propiedades de los conjuntos, asi tenemos que:

Sabemos ya que Conjuntos Disjuntos son los conjuntos que no tienen elementos comunes, o que su intersección es un conjunto vacío, (denotado en la teoria de conjuntos por el simbolo Φ).

Así por ejemplo, sean 02 conjuntos de letras:

P = { e, f, g, h, i } y

Q = { r, s, t )

Son conjuntos disjuntos porque: P ∩ Q = Φ,

→ En denotacion de conjuntos Φ representa al conjunto vacio.

→ Es decir no tienen ningun elemento en comun.

Ahora efectuamos la operación Reunión de estos conjuntos disjuntos, así:

P ∪ Q = { e, f, g, h, i, r, s, t }

♦ En el conjunto “P” su cardinal es igual a 5 (es decir que posee 5 elementos), en el conjunto “Q” su cardinal es igual a 3 (es decir que posee 3 elementos) y el cardinal del conjunto P ∪ Q es igual a 8 ( la union de ambos conjuntos da un nuevo conjunto de 8 elementos), al cardinal 8 se llama SUMA y los cardinales 5 y 3 se les llama SUMANDOS de modo que podemos escribirlo así:

 

Cardinal del Conjunto P + Cardinal del Conjunto Q = Cardinal del Conjunto P ∪ Q.
n ( P ) + n ( Q ) = n ( P ∪ Q )
5 + 3 = 8
SUMANDOS SUMA

La Adición: Es la operación por la cual a cada par ordenado de cardinales de dos conjuntos disjuntos se le asigna o se le hace corresponder el cardinal de su reunión.

 

¡Importante!

La adición es una operación interna en IN (conjunto de los numeros naturales), porque dos números cualesquiera siempre se puede sumar.

Ejemplo: 6 + 4 = 10 (10 —> Es natural)

Nota: No hay que confundir Unión de Conjuntos con Adición de números, los conjuntos se reúnen no se Súman: solamente pueden sumarse los números naturales así:

Suma de números naturales - representación mediante conjuntos
Adición de números naturales – representación mediante conjuntos

—> Es Incorrecto decir: Sumar dos plátanos y 4 manzanas.

 

Observaciones:

  • Los Cardinales o Números que se adicionan se llaman SUMANDOS y el resultado de la Adición es un número llamado SUMA.
  • Nótese que la suma es un número, mientras la Adición es una operación.

EJERCICIO DE COMPRENSIÓN

Nombrar los conjuntos y los números que Intervienen en el siguiente problema: Dos equipos rivales Barcelona (B) y Real Madrid (R), se enfrentan en un partido de fútbol por la final del campeonato.

Los hinchas de Barcelona que se encuentran en el estadio son 7000 y los del Real Madrid son 5000.

¿Cuántos hinchas de estos equipos hay en el estadio?

Resolución:

a) Los conjuntos son:

B = {hinchas de Barcelona}

R = {hinchas de Real Madrid}

B ∪ R = {hinchas de estos dos equipos que se encuentran en el estadio}

b) Los cardinales son:

Card ( B ) = n ( B ) = 7 000

Card ( R ) = n ( R ) = 5 000

Card ( B u R ) = n ( B u R ) = 7000 + 5000 = 12000

TABLA DE ADICION

 En el siguiente cuadro o tabla de doble entrada podemos hallar la suma de algunos pares de números:

Abaco de sumas del 0 al 9
Abaco de suma de numeros naturales de 0 hasta el 9

Abaco de suma de numeros naturales de 0 hasta el 9 EL MANEJO DE LA TABLA ES FÁCIL, Ejemplo:

Quieres sumar 2 + 3, busca dichos Sumandos: uno en la línea de las Filas; y el otro en la de las Columnas. Se sigue la Fila de uno y la Columna de otro y, donde se encuentran, está la suma. De la tabla podemos observar que al par (2,3) le corresponde el número 5, es decir:

2 + 3 = 5

  • Al par ( 4 , 5 ) le corresponde el número 9, es decir: 4 + 5 = 9
  • Al par ( 7 , 6 ) le corresponde el número 13, es decir: 6 + 7 = 13

PROPIEDADES DE LA ADICIÓN DE NÚMEROS NATURALES

 Has realizado la adición de números naturales uniendo conjuntos. Así pues, las propiedades de la unión de conjuntos serán también las propiedades de la adición.

PROPIEDAD CONMUTATIVA:

Vamos a considerar el mismo ejemplo que ya conocemos:

R =  {Domingo, Lunes Martes}

Card ( R )  = n ( R ) = 3

S =   {Miercoles, Jueves, Viernes, Sábado}

Card ( S )  = n ( S ) = 4

Luego:

R ∪ S = {Domingo, Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes, Sábado}

R ∪ S = {días de la semana}

Esto quiere decir que tiene los mismos elementos que R U S

De donde: R ∪ S = S ∪ R, ó También: —> n ( R ∪ S ) = n ( S ∪ R )

Es decir: La suma no se altera cuando se cambia el orden de los sumandos. La adición tiene la propiedad conmutativa.

 a + b = b + a

adicion de numeros naturales - propiedad conmutativa
sumas, adicion de numeros naturales – propiedad conmutativa

PROPIEDAD ASOCIATIVA:

  • Veamos la Unión Adición de tres conjuntos
representacion grafica de 3 conjuntos
asociación de 3 conjuntos

Recuerda que:  n(A): Se lee: “números de elementos del conjunto A”

Podemos efectuar la Unión o Reunión de tres maneras:

Primera forma – Los tres conjuntos a la vez.

Card (A ∪ B ∪ C ) = 12

Segunda forma  – Unimos 2 conjuntos y luego unimos al tercero

Efectuando primerio la unión de A y B, formamos el conjunto A  U B y después unimos este con el conjunto C.  obteniendo:

Card (A ∪ B ) ∪ C  = 12

Tercera forma – unimos 2 ultimos conjuntos y luego unimos al primero

Efectuando primerio la unión de B y C, formamos el conjunto B ∪ C y después unimos este con el conjunto A.  obteniendo:

Card (B ∪ C ) ∪ A  = 12

Se comprueba que: (A ∪ B ) ∪ C =  (B ∪ C ) ∪ A  = 12  ó (A ∪ B ) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

Es decir, la Adición es Asociativa y se enuncia así:

En la Adición de números naturales la suma total no se altera si se reemplazan o se asocian varios de los sumandos por sus sumas efectuadas o sea:

( a + b ) + c  = a + ( b + c )

Ejemplo: al efectuar: 4 + 6 + 8, si usamos paréntesis para Agrupar o asociar los Sumandos, tenemos lo siguiente:

(4 + 6) + 8     =  4 + (6 + 8)

    10    +   8     =  4  +  14

            18         =       18

PROPIEDAD DE IDENTIDAD ADITIVA O ELEMENTO NEUTRO

El empleo del Cero como sumando es una propiedad especial, teniendo en cuenta que Cero  si es un numero natural.

Sabemos que 0 es la propiedad numérica del conjunto vacío (Φ) y como la unión de un conjunto cualquiera A con Ф  es igual al mismo conjunto A.

O sea: A ∪ Ф = A

Donde:            n (A) + n (Ф) = n ( A)

Es decir:            a     +     0     =     a

Cero es un elemento neutro, por lo tanto el enunciado de la propiedad seria el siguiente:

La Adición de un Número cualquiera «a» con Cero da el mismo Número «a». Al Cero se llama Neutro o Elemento Identidad de la Adición.

PROPIEDAD DE CLAUSURA:

Si “r “y “s” son dos números naturales cualesquiera su Suma es también otro número natural.

Ejemplos:

8 + 6 = 14          ;                  8 ∈ IN; 6 ∈ IN ;             Entonces: 14 ∈ IN

44 + 23 = 67     ;                  44 ∈ IN; 23 ∈ IN ;           Entonces: 67 ∈ IN

PROPIEDAD DE MONOTOMÍA:

«Si a los dos miembros de una igualdad de números naturales le sumamos un mismo número natural se obtiene otra igualdad»

r + s = t   ;   Entonces:   r + s + m = t + m

Ejemplo: Sí:     9 + 8 = 17       Entonces: ( 9 + 8 ) + 6 = 17 + 6   —>   23   =   23

PROPIEDAD DE CANCELACIÓN:

«Si a los miembros de una igualdad de números naturales se le suprime un mismo número, la igualdad no varía».

r + m = m + s;   Entonces:   r   =   s

Ejemplo:

Sí:      3   +   4   +   9   =   7   +   9

∴        3   +   4  +   9   =   7   +   9   —>   3   +   4   =   7

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